Nato ad Asti (Italia) nel 1963, Di Bucci intraprende gli studi in giurisprudenza presso l’Università degli Studi di Torino, conseguendo la laurea in giurisprudenza nel 1986. Prosegue gli studi presso l’università di Nancy II (Francia) dove consegue, nel 1988, un diploma post universitario in diritto comunitario.

Nel 1987 Di Bucci entra in servizio alle dipendenze della Corte di giustizia come giurista linguista presso l’unità di traduzione italiana. Nel 1988, è assunto in qualità di referendario al gabinetto del giudice G. Federico Mancini, funzione che occupa fino al 1991. Sarà nuovamente referendario presso il giudice Mancini tra il 1994 e il 2000.

Tra il 1991 e il 1994, Di Bucci fa parte del team «Trasporti, ambiente, consumatori» del servizio giuridico della Commissione europea, istituzione a cui ritorna nel 2000 come membro del team del servizio giuridico «Aiuti di Stato e antidumping». Tra il 2007 e il 2010, è membro, poi consigliere giuridico del team «Concorrenza». Nel 2010 è nominato consigliere giuridico principale del team «Aiuti di Stato e antidumping» e occupa il medesimo ruolo nel team «Diritto commerciale» dal 2014 al 2023.

Il 5 giugno 2023 Di Bucci è eletto cancelliere del Tribunale.

È autore di varie pubblicazioni di diritto dell’Unione, in particolare sulle procedure dinanzi agli organi giurisdizionali dell'Unione, sugli aiuti di Stato e sul diritto dell'Unione bancaria.