Dzimis 1977. gadā Ļubļanā (Slovēnija), Damjan Kukovec 2001. gadā iegūst diplomu tiesību zinātnē Univerza v Ljubljani (Ļubļanas Universitāte, Slovēnija) Juridiskajā fakultātē un 2002. gadā – maģistra grādu tiesību zinātnē Harvard Law School (Hārvarda Universitātes Juridiskā fakultāte, ASV). Doktorantūras studijas veic pēdējā minētajā universitātē, kur 2015. gadā aizstāv disertāciju.

Profesionālo karjeru sāk 2002. gadā kā tiesas jurists praktikants Višje sodišče v Ljubljani (Ļubļanas apelācijas tiesa, Slovēnija) un darbojas šajā amatā līdz 2004. gadam. 2004. gadā strādā Sjerraleones Speciālajā tiesā (Frītauna, Sjerraleone), kā arī Ustavno sodišče (Konstitucionālā tiesa, Slovēnija).

2005. gadā D. Kukovec stājas dienestā Eiropas Savienības Tiesā par juristu, savukārt no 2006. līdz 2018. gadam strādā Eiropas Komisijas Juridiskajā dienestā. Turklāt 2006. gadā tiek uzņemts Slovēnijas Advokātu kolēģijā.

Līdztekus tam D. Kukovec īsteno universitātes karjeru, it īpaši Eiropas tiesību jomā. No 2011. līdz 2013. gadam pasniedz pasaules tiesības Hārvarda Universitātes Juridiskajā fakultātē un Hārvarda Universitātes Institute for Global Law and Policy (Pasaules tiesību un politikas institūts). Pēc tam pasniedz vairākās juridiskajās augstskolās visā pasaulē, tostarp FGV Direito Rio, Rio de Janeiro (Getulio Vargasa fonda Juridiskā fakultāte, Riodežaneiro, Brazīlija) 2014. gadā, University of Kent’s Brussels School of International Studies (Kentas Universitātes Briseles Starptautisko studiju skola, Beļģija) 2016. gadā, Eiropas Universitātes institūtā Florencē (EUI, Itālija) 2016. un 2017. gadā, kā arī Ļubļanas Universitātē – no 2018. līdz 2020. gadam. Kopš 2018. gada D. Kukovec ir arī tiesību docents un doktorantūras programmas asociētais direktors Middlesex University (Midlseksas Universitāte, Londona, Apvienotā Karaliste).

D. Kukovec ir goda profesors University College London (Londonas Universitātes koledža, Apvienotā Karaliste) Juridiskajā fakultātē un City Law School, University of London (Londonas Universitātes City Juridiskā skola, Apvienotā Karaliste), universitātes stipendiāts (affiliated fellow) Hārvarda Universitātē un – pašlaik – viesprofesors Rijksuniversiteit Groningen (Groningenas Universitāte, Nīderlande).

D. Kukovec ir daudzu publikāciju autors Eiropas Savienības tiesību jomā. Viņu regulāri aicina uzstāties ar lekcijām dažādās universitātēs visā pasaulē.

2022. gada 13. janvārī D. Kukovec tiek iecelts par Vispārējās tiesas tiesnesi.