Damjan Kukovec urodził się w Lublanie (Słowenia) w 1977 r. W 2001 r. ukończył studia licencjackie z zakresu prawa na wydziale prawa uniwersytetu w Lublanie (Univerza v Ljubljani, Słowenia), a w 2002 r. uzyskał tytuł magistra prawa na Harvardzie (Harvard Law School, USA). To na tej ostatniej uczelni kontynuował studia doktoranckie, zakończone obroną rozprawy doktorskiej w 2015 r.

W 2002 r. rozpoczął karierę zawodową jako aplikant sędziowski w sądzie apelacyjnym w Lublanie (Višje sodišče v Ljubljani, Słowenia), gdzie pracował w tym charakterze do 2004 r. W 2004 r. rozpoczął pracę jako prawnik w  Specjalnym Sądzie dla Sierra Leone (Freetown, Sierra Leone) oraz w sądzie konstytucyjnym (Ustavno sodišče, Słowenia).

W 2005 r. D. Kukovec rozpoczął pracę w Trybunale Sprawiedliwości Unii Europejskiej jako prawnik, a następnie, w latach 2006‑2018, pracował w Służbie Prawnej Komisji Europejskiej. W 2006 r. stał się ponadto członkiem słoweńskiej palestry.

D. Kukovec równolegle poświęca się karierze akademickiej, przede wszystkim w dziedzinie prawa europejskiego. W latach 2011‑2013 prowadził zajęcia z prawa globalnego na Harvardzie i w Institute for Global Law and Policy (instytut prawa globalnego i polityki globalnej) tej uczelni. Następnie wykładał na licznych uczelniach prawniczych na całym świecie, w tym w 2014 r. na uniwersytecie w Rio de Janeiro (FGV Direito Rio, Rio de Janeiro, Brazylia), w 2016 r. – na uniwersytecie w Kent (University of Kent’s Brussels School of International Studies, Belgia), w latach 2016 i 2017 – w Europejskim Instytucie Uniwersyteckim we Florencji (Włochy), a w latach 2018‑2020 – na uniwersytecie w Lublanie. Od 2018 r. D. Kukovec jest również starszym wykładowcą prawa i zastępcą dyrektora studiów doktoranckich na uniwersytecie Middlesex w Londynie (Middlesex University, Zjednoczone Królestwo).

D. Kukovec jest profesorem honorowym na wydziale prawa uniwersytetu w Londynie (University College London, Zjednoczone Królestwo) i w City Law School uniwersytetu w Londynie (City Law School, University of London, Zjednoczone Królestwo), affiliated fellow na uniwersytecie Harvarda, a obecnie profesorem wizytującym na uniwersytecie w Groningen (Rijksuniversiteit Groningen, Niderlandy).

D. Kukowec jest autorem licznych publikacji z zakresu prawa Unii Europejskiej. Jest też regularnie zapraszany jako wykładowca przez wiele uniwersytetów na całym świecie.

D. Kukovec został mianowany sędzią Sądu w dniu 13 stycznia 2022 r.